Il frattale in questione si chiama Koch Snowflake (fiocco di neve di Koch o stella di Koch).

La sua costruzione è ricorsiva e consiste semplicemente nel seguire le seguenti istruzioni a partire da un triangolo equilatero (l'immagine seguente mostra la costruzione ripetuta tre volte):

1. si divide ciascun lato della figura in tre segmenti uguali;
2. si costruisce un triangolo equilatero avente un lato coincidente con il segmento centrale di ogni lato ed il nuovo vertice esterno alla figura, poi si rimuove i suddetti segmenti centrali;
3. si prosegue dal punto 1 con la figura ottenuta al punto 2.

Ora che avete capito come si disegna, proseguirò con il dimostrare quali proprietà sorprendenti abbia questo frattale. Per fare ciò bisognerà calcolare semplicemente quale siano i limiti del perimetro e dell'area per un numero infinito di passi. È molto più facile di quanto sembri, anche se per spiegarvelo per iscritto dovrò complicare un po' le notazioni .

Le due idee più chiare per calcolare perimetro ed area sono:

• perimetro: ad ogni passo si determina il numero di segmenti che sostituiscono un lato del triangolo iniziale, si moltiplica per la lunghezza del singolo segmento, ottenendo la lunghezza dei segmenti generati a partire da un singolo lato del triangolo iniziale e si moltiplica il tutto per tre, per ottenere il perimetro totale;
• area: ad ogni passo, si somma all'area ottenuta al passo precedente quella costituita dai triangoli che vengono, di fatto, aggiunti; come per il perimetro, si prende in considerazione un singolo lato del triangolo iniziale, si determina il numero di triangoli da aggiungere, l'area di uno di essi, si moltiplicano tali valori per ottenere l'area aggiuntiva su un singolo lato e si moltiplica, infine, il tutto per tre, per ottenere l'area totale da aggiungere a quella valutata al passo precedente.

Nelle notazioni che seguono, i numeri a pedice indicano i passi ai quali sono calcolati i valori e la lunghezza del lato del triangolo iniziare è pari ad $$l$$. Il fatto di non calcolare certi valori o raggrupparli in modo inizialmente bizzarro con delle parentesi è intenzionale. Infine, si ricorda che l'area di un triangolo equilatero di lato $$l$$ è pari a $$\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$$.

Siano:

• SpL: segmenti per lato, il numero di segmenti che sostituiscono un singolo lato del triangolo iniziale;
• LSpL: la lunghezza di uno dei suddetti segmenti;
• TaddN: il numero di triangoli da aggiungere rispetto al passo precedente per un singolo lato del triangolo iniziale;
• TaddA: l'area di uno dei suddetti triangoli;
• TaddATot: l'area totale da aggiungere rispetto al passo precedente;
• P: il perimetro totale;
• A: l'area totale.

Passo 0:

• $$SpL_0 = 1$$
• $$LSpL_0 = l$$
• $$TaddN_0$$: non ha significato
• $$TaddA_0$$: non ha significato
• $$TaddATot_0$$: non ha significato
• $$P_0 = 3l$$
• $$A_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2$$

Passo 1:

• $$SpL_1 = 4 \times SpL_0 = 4 \times 1 = 4$$
• $$LSpL_1 = \frac{1}{3} \times LSpL_0 = \frac{1}{3} l$$
• $$TaddN_1 = SpL_0 = 1$$:
• $$TaddA_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}(LSpL_1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{3}l)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{1}{9}l^2$$
• $$TaddATot_1 = 3 \times TaddN_1 \times TaddA_1 = 3 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{1}{9}l^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{3}{9}l^2$$
• $$P_1 = 3 \times SpL_1 \times LSpL_1 = 3 \times (4) \times (\frac{1}{3})l$$
• $$A_1 = A_0 + TaddATot_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{3}{9} l^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{9})$$

Passo 2:

• $$SpL_2 = 4 \times SpL_1 = 4 \times 4$$
• $$LSpL_2 = \frac{1}{3} \times LSpL_1 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}l = \frac{1}{3^2}l$$
• $$TaddN_2 = SpL_1 = 4$$:
• $$TaddA_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(LSpL_2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{9}l)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{1}{9})^2 l^2$$
• $$TaddATot_2 = 3 \times TaddN_2 \times TaddA_2 = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{1}{9})^2 l^2$$
• $$P_2 = 3 \times SpL_2 \times LSpL_2 = 3 \times (4 \times 4) \times (\frac{1}{3^2})l$$
• $$A_2 = A_1 + TaddATot_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{9}) + 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{1}{9})^2 l^2 =$$
  $$= \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{9} + \frac{3 \times 4}{9^2})$$

Passo 3:

• $$SpL_3 = 4 \times SpL_2 = 4 \times (4 \times 4) = 4 \times 4 \times 4$$
• $$LSpL_3 = \frac{1}{3} \times LSpL_2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3^2}l = \frac{1}{3^3}l$$
• $$TaddN_3 = SpL_2 = 4 \times 4$$:
• $$TaddA_3 = \frac{\sqrt{3}}{4}(LSpL_3)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{3^3}l)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{1}{9})^3 l^2$$
• $$TaddATot_3 = 3 \times TaddN_3 \times TaddA_3 = 3 \times (4 \times 4) \times \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{1}{9})^3 l^2$$
• $$P_3 = 3 \times SpL_3 \times LSpL_3 = 3 \times (4 \times 4 \times 4) \times (\frac{1}{3^3})l$$
• $$A_3 = A_2 + TaddATot_3 =$$
  $$= \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{9} + \frac{3 \times 4}{9^2}) + 3 \times (4 \times 4) \times \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{1}{9})^3 l^2 = $$
  $$= \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{9} + \frac{3 \times 4}{9^2} + \frac{3 \times 4 \times 4}{9^3})$$

A questo punto è il caso di fermarsi perché si vede chiaramente un pattern. Riporto i valori di perimetro ed area ad ogni passo e la generalizzazione al generico passo n>0:

• Perimetro
  • $$P_1 = 3 \times (4) \times (\frac{1}{3})l$$
  • $$P_2 = 3 \times (4 \times 4) \times (\frac{1}{3^2})l$$
  • $$P_3 = 3 \times (4 \times 4 \times 4) \times (\frac{1}{3^3})l$$
  • ...
  • $$P_n = 3 \times 4^n \times (\frac{1}{3^n})l = 3(\frac{4}{3})^n l$$
• Area
  • $$A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{9})$$
  • $$A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{9} + \frac{3 \times 4}{9^2})$$
  • $$A_3 = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{9} + \frac{3 \times 4}{9^2} + \frac{3 \times 4 \times 4}{9^3})$$
  • ...
  • $$\displaystyle A_n = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+3\sum_{k=1}^{n} \frac{4^{k-1}}{9^k}) = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+3\sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{4^{k}}{4}}{9^k}) = $$
    $$= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{4}\sum_{k=1}^{n} (\frac{4}{9})^k)$$

Ora non resta che determinare il limite per $$n \to \infty$$ del perimetro e dell'area. Per quanto riguarda il perimetro è immediato vedere che tenda all'infinito, poiché la frazione $$\frac{4}{3}$$ è maggiore di 1:

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} 3(\frac{4}{3})^n l = \infty$$

Per quanto riguarda l'area bisogna osservare che la sommatoria coinvolge termini di una serie geometrica di ragione r=$$\frac{4}{9}$$, il cui limite si può calcolare con la formula $$\frac{r}{1-r}$$ (chi non è convinto, clicchi qui):

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{4}\sum_{k=1}^{n} (\frac{4}{9})^k) = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{4}\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{4}{9})^k) =$$

$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2(1+\frac{3}{4} (\frac{\frac{4}{9}}{1-\frac{4}{9}})) = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2 (1 + \frac{3}{4}\frac{4}{9}\frac{9}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2 (\frac{8}{5}) = \frac{2\sqrt{3}}{5}l^2$$

Nel caso non ve ne siate ancora accorti, all'infinito il perimetro di quella figura sarà infinito, mentre l'area convergerà ad un valore ben preciso, ovvero gli $$\frac{8}{5}$$ dell'area del triangolo iniziale, poiché $$A_0=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$$.

Ovvero, un perimetro infinito racchiude un'area finita. Sorprendente, no?

Proprietà analoghe valgono per altri frattali. Se vi interessa questo argomento potete leggere un'introduzione su cosa siano i frattali o più semplicemente vedere un'interessante lista di immagini di frattali. Vi propongo le pagine in inglese di  Wikipedia perché sono le più complete, ricordandovi però che Wikipedia è un formidabile strumento di traduzione semantica (leggasi: cliccate sulle lingue che preferite nel menu "languages" a sinistra).

---
[1] La sommatoria in questione, che coinvolge termini di una serie geometrica, è della forma $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} r^k, |r|<1$$. Chiamando la somma $$S$$ ed esplicitandone qualche termine si ha:

$$ S=r+r^2+r^3+\ldots$$

Moltiplicando entrambi i membri per $$r$$ si ottiene:

$$S\times r = r^2+r^3+r^4+\ldots$$

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:

$$S - S \times r = (r+r^2+r^3+\ldots) - (r^2+r^3+r^4+\ldots)$$

$$S(1-r) = r $$

$$\displaystyle S = \frac{r}{1-r}$$

Q.E.D.

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I punti da trattare sono i seguenti.

1) Tre aggettivi per descrivere il tuo blog.

• imprevedibile (vabbè, in questo periodo vado avanti solo di recensioni...vedrò di rifarmi);
• puntiglioso;
• improbabile.

2) Quanti blogger hai conosciuto di persona?

Pochi, ma a prescindere dal fatto che fossero dei blogger.

3) Quale blogger ti piacerebbe conoscere?

Non mi sono mai posto il problema, quindi non vedo perché mobilitare i miei neuroni ora . Al limite preferirei conoscere delle blogger, ma non per il fatto che tengano un diario su Internet .

4) Qual è il primo blog che leggi ogni mattina?

Non leggo i blog sistematicamente e comunque non seguo un ordine.

5) Qual è il blog di cui festeggeresti la chiusura?

Nessuno in particolare, in generale quelli che:

• citano parzialmente articoli in maniera grossolana, mettono link al proprio articolo su siti noti giusto per avere visite e rimandano all'articolo originale;
• vengono resi privati;
• trattano sempre e solo di argomenti personali, parlandone in un modo così vago da rendere incomprensibile la lettura;
• probabilmente altri che ora mi sfuggono.

6) Fai il talent scout: lancia una gggiovane blog-promessa.

No idea (da leggersi "no(u) aidìa").

Da bravo interruttore (nel senso non elettronico del termine) di catene di S.Antonio quale sono, non diffondo questo meme, ma naturalmente chi vuole se lo può prendere.

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2. cat 2006 > /dev/null ? Difficile fare un bilancio dello (ormai) scorso anno, un po'...

Per fortuna si tratta di sole 4 domande .

Iniziamo subito.

1) Chi o cosa ti ha spinto a creare un blog?

Mi sono sempre piaciute le tecnologie legate al Web (specialmente 2.0) e mi andava di creare un diario virtuale. La scusa è stata trattata proprio nel primo post, di cui parlo nella prossima risposta.

2) Il tuo primo post?

Il mio primo post è questo ed è del lontano (?) 08/09/2006. Vista la coerenza che mi contraddistingue, ma soprattutto la preveggenza , il post inizia esattamente con:

"Cosa può spingermi ad iniziare a popolare un blog? Beh, l’affermazione più sconcertante sentita negli ultimi tempi!"

3) Il post di cui ti vergogni di più?

Non mi vergogno di nulla di ciò che ho scritto. Nel caso pensiate che ci sia qualcosa di cui debba vergognarmi, fatemi sapere .

4) Il post di cui sei più fiero?

In generale sono fiero dei post in cui recensisco libri (potete trovarli facilmente selezionando le categorie recensioni, libri, lettura o i relativi tag), anche perché sono quelli che mi richiedono più tempo per essere scritti.

---

Chiunque voglia prendere questo meme e rispondere sul proprio blog faccia pure, ma almeno mettete un link al mio, così vi posso trovare .

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Region A? Region B?

Ma soprattutto, in quegli anni non avevo nemmeno questo blog .

Qualcuno ha una vaga idea di che cosa sia?

Nessun post attinente.